按照原先的计划，这个系列只应该有四篇，但是后来打算多写一些，把这个问题研究透彻，所以出现了总结篇先于其它篇的情况。
这次我们按照总结篇中提到的方法实际演示下代码覆盖工具如何帮助我们优化程序提高性能，先给出我们未经好好优化的程序：
package com.jiehoo.util;

public class GoogleFn {
private static final int MAX = 2600002;

private static long start = System.currentTimeMillis();

private static int[] bases = new int[15];

private static int[] values = new int[15];

static {
bases[0] = 0;
bases[1] = 10;
values[0] = 0;
values[1] = 1;
for (int i = 2; i < values.length; i++) {
bases[i] = (int) Math.pow(10, i);
values[i] = i * (int) Math.pow(10, i – 1);
}
}

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其实很多问题一旦涉及到数学问题或者数据处理密集型问题，那么最终显现神威的就是数学公式，这个面试题也是这类问题，所以如果我们能够推导出一个数学公式就是最理想的，在前面的例子中，我们进行了一些深入的分析，根据前面的例子，你可能会尝试把步长从100扩展到1000或者10000，但是实际上这个方法遇到了瓶颈，因为循环嵌套的层次太多，计算公式太复杂也会导致问题。如果我们最开始尝试的时候把全部的f(n)的结果打印出来，你会发现这样的内容：

1. f(9) = 1
2. f(99) = 20
3. f(999) = 300
4. f(9999) = 4000
5. ……

这个是我们的第一个规律：位数乘以（（位数－1）的10的次方）。
根据这个f(n)的说明，我们定义另外一个方法x(n)，它的定义就是n这个数包含的1的个数，例如x(1)=1，x(2)=0，x(11)=2，那么我们可以把f(n)展开为：
f(n)=x(0)+x(1)+……+x(n)
同时我们可以把x(n)也展开，假设n=XYZ，那么x(n)的展开式为：
x(n)= x(X)+x(Y)+x(Z)
也等于：
x(n)= x(X)+x(YZ)
再结合上面的规律我们就可以推导出一个规律了，先用例子来说明，以106为例：
f(106) = x(0)+…+x(99)+x(100)+…+x(106) = f(99) + x(100)+…+x(106)
f(99)我们使用上面的第一个规律很容易计算得到，那么后面的这7个数包含多少个1呢，其实也很简单，应用可能小学就学过的公因子概念，当然这里不是真正的公因子，而是这些数里面包含的1的个数相同的部分，结合x(n)的展开式，我们进一步推演出：
f(106) = f(99) + x(1)+ x(00)+x(1)+x(01)+…+x(1)+x(06) = f(99) + x(1) * (6+1) + x(00) + .. x(06) = f(99) + x(1) * (6+1) + f(6)
这样计算就很简单了，不是吗？
好，再看看f(345)的情况，有点不太一样：
f(345) = x(0)+…x(99)+x(100)+…+x(199)+x(200)+..+x(299)+x(300)+…+x(345)= f(99) + x(1) * (99+1) + f(99)+ x(2)*(99+1)+f(99)+x(3)*(45+1)+f(45)
这个例子足够典型了吗？看到规律了吗？
给定一个数n，假设最高位为x，除去最高位的数字为y，位数为z，那么
如果x=1，那么f(n)等于f(pow(10,z-1)-1)+(y+1)+f(y)
如果x>1，那么f(n)等于f(pow(10,z-1)-1)*x+pow(10,z-1)+f(y)

转换为代码就是：

private static int fn(int number) {
if (number < 10) {
return number > 0 ? 1 : 0;
}
String s = number + “”;
int length = s.length();
int end = Integer.parseInt(s.substring(1, length));
int x = s.charAt(0) – ‘0’;
int result = 0;
if (x == 1) {
result = (length – 1) * (int) Math.pow(10, length – 1 – 1) + fn(end)
+ (end + 1);
} else {
result = (length – 1) * (int) Math.pow(10, length – 1 – 1) * x
+ (int) Math.pow(10, length – 1) + fn(end);
}
return result;
}

你可以运行试试这个公式是否准确。
最后需要强调一下的是，这个方法可以快速的计算给定的一个数的f(n)的结果，但是如果用一个简单的循环来查找符合f(n)=n的结果是不合适的，这个我会另外再谈的。

1. Google面试题解说性能之一：字符串运算VS数字运算

2. Google面试题解说性能之二：分析问题

3. Google面试题解说性能之三：不要小看循环中的任何一个语句

4. Google面试题解说性能之四：优化无止境

5. Google面试题解说性能之五：人比电脑聪明

6. Google面试题解说性能之六：数学显神威

7. Google面试题解说性能之七：缓存中间结果

8. Google面试题解说性能之八：工欲善其事必先利其器

9. Google面试题解说性能之总结